Page 61 - DMTH503_TOPOLOGY

Unit 5: The Subspace Topology

Remark: Consider the usual topology T on R and the relative topology on Y = [0, 1]. Then Notes
æ 1 ö æ 1 ù æ 1 ö
é
é
ë
û
ë
ç 0, ÷ is -open as well as T-open ç , 1 = ç , 2 ÷  0, 1ù = G  0, 1ù û
ú
è 2 ø è 2 û è 2 ø
æ 1 ö
where G = ç , 2 ÷  T
è 2 ø
æ 1 ù
 ç , 1 = G  Y.
ú
è 2 û
æ 1 ù
This shows that ç , 1 is -open but not T-open
ú
è 2 û
æ 1 2 ö æ 1 2 ö
é
ë
ç , ÷ = ç , ÷  0, 1ù û
è 2 3 ø è 2 3 ø
= G  Y
æ 1 2 ö
where G = ç , ÷  T
è 2 3 ø
æ 1 2 ö æ 1 2 ö
ç , ÷  and also ç , ÷  T.
è 2 3 ø è 2 3 ø
æ 1 ù
Similarly, 0, is not -open as well as it is not T-open.
ç è 2 û ú
5.1.1 Solved Examples on Subspace Topology

Example 1: LetX = {a, b, c, d, e, f}
T = {X, , {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}

and Y = {b, c, e}.
Then the subspace topology on Y is
T = {Y, , {c}}.
Y

Example 2: Consider the topology
T = {, {1}, {2, 3}, X} on

X = {1, 2, 3} and a subset Y = {1, 2} of X.
Then Y   = 
Y  {1} = {1},
Y  {2, 3} = {2} and
Y  X = V.

Hence, the relative topology on Y is
T = {, {1}, {2}, V}.
Y

LOVELY PROFESSIONAL UNIVERSITY 55