Page 161 - DCAP313_LAB_ON_COMPUTER_GRAPHICS

Unit 10: Shearing

    Notes
u È ˘ È u + av + bw˘

 Í ˙
v
Í ˙ Í Í v  ˙ ˙
 Æ
Í w˙ Í w ˙
Í ˙ Í ˙
O
Î ˚ Î O ˚
An illustration of this process is given in the following Figure 10.1.
Figure 10.1: The X-shear Transformation
ay

y
x + ay + bz

bz
z
x
This transform can be implemented by the following 4 × 4 matrix:
   
u
È 1 ab 0˘ È ˘ È u + av + bw˘

Í 01 00 ˙ Í ˙ Í v   ˙
v
Í ˙ Í ˙ = Í  ˙

Í 00 10˙ Í ˙ Í w ˙
w
Í ˙ Í ˙ Í ˙
O
Î 000 1 ˚ Î ˚ Î O ˚
And so we define the x-shear transformation by
È 1 ab 0˘
Í 01 00 ˙
H x;a,b = Í ˙
Í 00 10˙
Í ˙
Î 000 1 ˚
If this transformation is applied to the point (u, v, w), we obtain:
È 1 ab 0˘
Í 01 00 ˙
[u v w 1] Í Í 00 10˙ ˙ = [u au + v bu + w 1]
Í ˙
Î 000 1 ˚
and thus objects can be shared by applying this matrix to all points of the object.

10.1.2 The Y-shear Transformation
 
, )
Given a frame F = (, ,uv wO we “y-shear” a frame by transforming the second vector by adding
a linear combination of the other two vectors. The frame transformation takes the following form:
 
u È ˘ È u ˘

 ˙
 Í
 Í ˙ au + v + bw
v
Í ˙
=  Æ Í Í w ˙ ˙

Í
w˙
Í ˙ Í ˙
O
Î ˚ Î O ˚
LOVELY PROFESSIONAL UNIVERSITY 155