Page 289 - DMTH401_REAL ANALYSIS

Unit 23: Differentiation of Integrals

Note that if we define Notes
p 2 1
I = n dx
n ò
0 2 2 )
(acos x bsin x+
it can easily be shown that
I ¶ n 1 + I ¶ n 1 + (n 1) I = 0.
-
-
×
-
¶ a ¶ b n
Given I this partial-derivative-based recursive relation (i.e., integral reduction formula) can then
1
be utilized to compute all of the values of I for n > 1 (I , I , I , I , etc.).
n 1 2 3 4
Example: Here, we consider the integral
p 2 ln(1 cos+ a cosx)
I( ) = 0 ò cos x dx .
a
for 0 < a < p.
Differentiating under the integral with respect to awe have

d p 2 ¶ æ ln(1 cos a cosx)ö
+
a
I( ) = ò dx
da 0 ¶a è ç cos x ÷ ø
p sina
2
= – ò 0 1 cos cosx+ a dx
p sina
2
= – ò 0 æ 2 p 2 x dx
ç cos + sin 2 x ö ÷ + cosa ç æ cos - sin 2 x ö ÷
è 2 2 ø è 2 2 ø
sina p 2 1 sin a
= – 0 ò dx
1 cosa cos 2 x éæ + a 2 x ù
-
1 cos ö
2 ê ç ÷ + tan ú
-
è ê ë 1 cosaø 2 ú û
1 2 x
2 sina p 2 2 sec 2
= – ò dx
1 cosa 0 éæ 2cos 2 a ö 2 x ù
-
2
ê ç 2 a ÷ + tan ú
è ê ë 2sin 2 ø 2 ú û
æ a aö
2 2sin cos ÷
ç
= – è 2 2 ø p 2 1 æ x ö
ç
a ò 0 é 2 ù d tan ÷
2 ø
è
a
2sin æ cos ö 2 x
2
2 ê ç sin a ÷ + tan 2 ú ú
ë è ê 2 ø û
a p 1 æ x ö
= – 2cot ò 2 d tan ÷
ç
2 0 é cot 2 a + tan 2 x ù è 2 ø
ê ú
ë 2 2 û
p
æ æ a x ö ö 2
ç
= – 2 tan 1 tan- ç è tan ÷÷
è
2
2 øø
0
= –a
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