Page 198 - DMTH404_STATISTICS

Statistics

Notes
é n æ 1 ö æ 2 ö æ (r  ) 1 ö æ mö n ù
m r lim ê ç 1 ÷ ç 1 ÷ .... 1 ç ÷ 1 ÷ ú
ç
= . ê n è n ø è n ø è n è ø n ø ú
! r n   ê r ú
ê æ ç 1 mö ÷ ú
ê ë è n ø ú û

m r æ mö n
= lim 1 ÷
ç
! r è n ø , since each of the remaining terms will tend to unity as
n  
n   .

m
n
ü
m r .e  m lim æ mö n lim ì mö m ï  m
ïæ
= , since 1 ÷ = íç 1 ÷ ý = e .
ç
! r n   è n ø n   è n ø
ï
î ï
þ
Thus, the probability mass function of Poisson distribution is
e  m .m r
P ( ) r = , where r = 0,1,2, ...... 
! r
Here e is a constant with value = 2.71828... . Note that Poisson distribution is a discrete probability
distribution with single parameter m.

 e  m .m r æ m m 2 m 3 ö
Total probability = å = e  m ç 1+ + + + .... ÷
r= 0 ! r è 1! 2! 3! ø
m
= e - m .e =1 .

14.6.3 Summary Measures of Poisson Distribution

(a) Mean
The mean of a Poisson variate r is defined as

 e  m .m r  m r é m 3 m 4 ù
2
+
E
( ) r = å . r e=  m å = e  m ê m m + + + .... ú
r= 0 ! r r= 1 (r  ) 1 ! ë 2! 3! û
é m 2 m 3 ù
e =
me=  m ê 1 m + + + .... = me  m m m
+
ú
ë 2! 3! û
(b) Variance
The variance of a Poisson variate is defined as
2
2
Var(r) = E(r - m) = E(r ) - m 2
   
2
2
1 P
Now ( ) = å r P ( ) r = å é ( r r  ) 1 + ù û ( ) r = å é ( r r  ù å r P ( ) r
r P
E r
) ( ) r +
û
ë
ë

r= 0 r= 0 r= 0 r= 0
190 LOVELY PROFESSIONAL UNIVERSITY