Page 145 - DMTH404_STATISTICS

Unit 10: Approximate Expressions for Expectations and Variance

Notes
5 1 é æ 5ö 2 æ 5ö 4 ù 5 1 36 5
= ´ ê 1+ ç ÷ + ç ÷ + ...... = ´ ´ =
ú
6 6 ê ë è 6 ø è 6 ø ú û 6 6 11 11

Expectation of A and B for the prize of Rs 55

6
Since the probability that A wins is , therefore, the random variable takes a value 55 with
11
6 5 6 5
0
probability and value 0 with probability . Hence, E A( ) = 55 ´ + ´ = Rs 30
11 11 11 11
5 6
Similarly, the expectation of B is given by E ( ) 55 ´ + 0 ´ = Rs 25
=
B
11 11
Example 8: An unbiased die is thrown until a four is obtained. Find the expected value
and variance of the number of throws.
Solution.
Let X denote the number of throws required to get a four. Thus, X will take values 1, 2, 3, 4, ......
with respective probabilities.
2 3
1 5 1 æ ö 1 æ 5ö 1
5
, ´ , ç ÷ ´ , ç ÷ ´ ...... etc.
6 6 6 è ø 6 è 6 ø 6
6
2 3
1 5 1 æ 5 ö 1 æ 5 ö 1
X
\ E ( ) 1. + 2. . + 3. ç ÷ . + 4. ç ÷ . ......
=
6 6 6 è 6 ø 6 è 6 ø 6
1 é 5 æ 5ö 2 æ 5ö 3 ù
+
= ê 1 2. + 3. ç ÷ + 4. ç ÷ + ......ú
6 ê ë 6 è 6 ø è 6 ø ú û

2 3
5 æ 5 ö æ 5 ö
Let S = 1 2.+ + 3. ç ÷ + 4. ç ÷ + ......
6 è 6 ø è 6 ø
5
Multiplying both sides by , we get
6
2 3 4
5 æ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö
S = + 2. ç ÷ + 3. ç ÷ + 4. ç ÷ + ......
6 è 6 ø è 6 ø è 6 ø
2 3
5 5 æ 5 ö æ 5 ö
+
-
-
\ S - S = 1 (2 1) + (3 2) ç ÷ + (4 3) ç ÷ + ......
-
6 6 è 6 ø è 6 ø
2 3
1 5 æ 5ö æ 5ö 1
S = 1+ + ç ÷ + ç ÷ + ...... = = 6 .... (1)
6 6 è 6 ø è 6 ø 5
1-
6

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