Page 146 - DMTH404_STATISTICS

Statistics

1
Notes Thus, S = 36 and hence E(X) = × 36 = 6.
6
2
Further, to find variance, we first find E(X )
2 3
5
1 2 5 1 2 æ ö 1 2 æ ö 1
5
2
=
( E X ) 1. + 2 . . + 3 . ç ÷ . + 4 . ç ÷ . ......
6 6 6 è 6 ø 6 è 6 ø 6
1 é 2 æ ö 2 æ ö 2 2 æ ö 3 ù
5
5
5
+
= ê 1 2 . ç ÷ + 3 . ç ÷ + 4 . ç ÷ + ......ú
6 ê ë è 6 ø è 6 ø è 6 ø ú û
2 3
5
5
5
2 æ ö 2 æ ö 2 æ ö
Let S = 1 2 .+ ç ÷ + 3 . ç ÷ + 4 . ç ÷ + ......
è 6 ø è 6 ø è 6 ø
5
Multiply both sides by and subtract from S, to get
6
2 3
1 2 æ 5 ö 2 2 æ ö 2 2 æ ö
5
5
S = 1+ (2 - ) 1 ç ÷ + (3 - 2 )ç ÷ + ( 4 - 3 )ç ÷ + ......
6 è 6 ø è 6 ø è 6 ø
2 3
æ 5ö æ 5ö æ 5 ö
1 3= + ç ÷ + 5 ç ÷ + 7 ç ÷ + ......
è 6 ø è 6 ø è 6 ø
5
Further, multiply both sides by and subtract
6
2 3
1 5 æ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö
S - S = 1+ (3 1- ) ç ÷ + (5 3- ) ç ÷ + (7 5- ) ç ÷ + ......
6 36 è 6 ø è 6 ø è 6 ø
5 ì
1 æ ö ï 5 æ 5ö 2 ü 5
ï
S = 1 2 ç ÷ í 1+ + ç ÷ + ...... = + ´ 6 11 .... (2)
=
+
1
ý
36 è 6 ø ï î 6 è 6 ø ï þ 3
1
2
\ S = 36 ´ 11 and E(X ) = ´ 36 ´ 11 = 66
6
Hence, Variance = E(X ) - [E(X)] = 66 - 36 = 30
2
2
Generalisation:
Let p be the probability of getting 4, then from equation (1) we can write
1 1 1 æ 1 ö 1
pS = = or S = Therefore, ( )E X = p ç 2 ÷ =
1 q p p 2 è p ø p
-
Similarly, equation (2) can be written as
2q 1 2q p + 2q
2
p S = 1+ or S = + =
p p 2 p 3 p 3
æ p + 2qö p + 2q p + 2q 1 q
2
E X
Therefore, ( ) = . p ç 3 ÷ = 2 and Var(X) = 2 - 2 = 2
è p ø p p p p

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