Page 56 - DMTH202_BASIC_MATHEMATICS_II

Unit 4: Definite Integral

1 Notes
2x
2.  e dx
 1



x

f ( )  ex 2x ,a   1,b  1andnh b a  1 ( 1)  2
f ( )  f ( 1)  e  2
a



)
)
( f a h  f ( 1 h  e 2( 1 h )  e  2 .e 2h



h





h
h
( f a  2 )  f ( 1 2 )  e 2( 1 2 )  e  2 4h  e  2 .e 4h
h



h
h

( f a  3 )  f ( 1 3 )  e 2( 1 3 )  e  2 6h  e  2 .e 6h

:
:
h



h

h



( f a n  1 ) f ( 1 n  1 ) e 2( 1 n 1 )  e 2 2(n 1) h  e  2 .e ( 2 n 1)h

b
h
h
a
x
h
f
h
Now,  f ( )dx  lim [ ( )  ( f a h  ( f a  2 )  ( f a  3 )  ( f a n  1 )]
)


a h 0
1
2x
h
  e dx  lim [ ( 1)  f ( 1  ) h  f ( 1 2 )  f ( 1 3 )   f ( 1 n  1 )]


h




h

h

f
h 0
 1
4h
6h
2h
2
2


h
 lim [e  e  2 .e   2.e   2e   e e 2(n 1)h ]
e
e
h 0
 (e 2nh  1) h
4

 lim h e  2   lim .e  2(e  1) [ nh  2]

2h
2h
h 0 e  1  h 0 3  1

2h 1 1 1
4
2
4
 lim . e  2 (e  1)  e  2 (e  1) (e  e  2 )
2h
h 0 e  1 2 2 2
3  x
3.  e dx
1

x

f ( )  e  x ,a   1,b  3 and nh b a  3 1  2

a
f ( )  f (1)  e  1



( f a h  f (1 h  e  (1 h )  e  1 .e  h
)
)
h


h
( f a  2 )  f (1 2 )  e  (1 2 )  e  1 2h  e  1 .e  2h
h

h


h
( f a  3 )  f (1 3 )  e  1(1 3 )  e  1 .e  3h
h
:
:
h





( f a n  1 ) f (1 n  1 ) e 1(1 (n 1) )  e  1 (n 1) h  e  1 .e (n 1)h
h
h

b


h
Now,  f ( )dx  lim [ ( ) f (a h ) f (a  2 ) f (a  3 )  f (a n  1 )]
h
h
f
h


a
x

a h 0
h
f

 lim [ (1)  f (1 h  f (1 2 ) (1 3 )   f (1 (n  1) )]

)
h


h

h
h 0
1



1 
1 

1 
1 

h
 lim [e  e e h  e e 2h  e e 3h   e e (n 1)h ]
h 0
e  1 (e  nh  1) h
 lim h  lim e  1 (e  nh  1)
h 0 e  h  1 h 0 e  h  1
  h   1  2
 lim    e (e  1)
h 0  e  h  1 
1

1

3
2

 e  1(e  1) e  e  e  .e  3
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