Page 63 - DMTH202_BASIC_MATHEMATICS_II

Basic Mathematics-II

Notes 2 1 log|3x  2|  2 1 1 4
(ii) I   dx    log|4| log| 5|    log
 1 3x  2 3   1 3 3 5
 /2  /2
cos2x  1     
(iii) I   sin2xdx      cos2    cos2(0) 
0 3   1 2   2  
1 1 1

  cos  cos  0    1 1     ( 2) 1

2 2 2
 /4
 /4  
x
(iv) I   tanxdx  log|sec |   log sec  log|sec0|
0  0  4
1

 log 2  log1 log 2  log 2
2
 /4  /4
  
x

(v) I   secxdx  log|secx  tan |   log sec 4  tan 4  log|sec0 tan0|
0  0 

 log| 2   1| log|1 0| log| 2  1|


1 1  1 
1


1
1


(vi) I   2 dx  sin x   sin (1) sin (0) 
0 1 x 0  4
1
1 x  
1

1


1

(vii) I   2 dx  tan x   tan (1) tan (0) 

0 1 x 0  4
3 x 1 3 2x 1  3
2
(viii) I  2  dx  2  dx  log|x  1| 
2 x  1 2 x  1 2 2 
2
1 1  10 1

[log|10| log|5|]  log  log 2
2 2   5   2
Example:
Evaluate the following integrals:
4 dx
(i) 0  x  4
2
4 dx
(ii) 0  2
x  2x  3
2 dx
(iii) 

0 4 x x 2

1
2
(iv)  x  x dx
0
Solution:
4 dx 4 dx
(i) 0  x  4  0  x  (2) 2
2
2
4
1 x  2  1  2 1  1  5 
 log    log  log   log  
4 x  2 3  4  6 5  4  3 
4 dx 4 dx 2  4
1
2
(ii) 0  4 x x 2   0  (x  1)  2  log|x   x |2x 3 


0
5  3 3


 log|5  27| log|1  3| log  log|7  4 3|
1  3
58 LOVELY PROFESSIONAL UNIVERSITY